Main function of lidar class
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Desaturation
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Background
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Geometrical Factor
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apply_preprocess
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Définition
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Cette fonction permet d'appliquer les paramètres de prétraitements (saturatino, fond de ciel, facteur géométrique) sur les signaux bruts et de créer un nouveau fichier. 

Le traitement préliminaire du signal lidar est réalisé en appliquant la formule suivante :

.. math::
    :label: eq_apply_preprocess_main

    P = \frac{(R - B)}{G} \cdot S

où :

- ``P`` est le signal lidar après traitement préliminaire,
- ``R`` est le signal lidar brut,
- ``B`` est le bruit de fond du signal,
- ``S`` est le coefficient de saturation du signal,
- ``G`` est le facteur géométrique du système lidar.

Pour rappel, le facteur de saturation ``S`` correspond au rapport entre le signal désaturé et le signal brut. L'équation précédente devient donc : 

.. math::

    P = \frac{(R - B)}{G} \cdot \frac{s}{R} = \frac{(s - \frac{s}{R} B)}{G}
	
Si on reprend l'équation :eq:`eq_apply_preprocess_main` et que l'on applique la propagation d'erreur, on obtient alors : 

.. math::
    :label: eq_apply_preprocess_uncertainty_1

    \sigma_P^2 = (\frac{\partial P}{\partial R} * \sigma_R)^2 + (\frac{\partial P}{\partial B} * \sigma_B)^2 + (\frac{\partial P}{\partial S} * \sigma_S)^2 + (\frac{\partial P}{\partial G} * \sigma_G)^2

L'écriture des dérivées partielles s'écrivent de la façon suivante : 

.. math::
   :label: eq_apply_preprocess_uncertainty_2

   \left\{
   \begin{aligned}
   \frac{\partial P}{\partial R} & = \frac{S}{G} \\
   \frac{\partial P}{\partial B} & = - \frac{S}{G}  \\
   \frac{\partial P}{\partial S} & = \frac{R - B}{G}  \\
   \frac{\partial P}{\partial G} & = - \frac{P}{G}  \\
   \end{aligned}
   \right.
 
En combinant les équations :eq:`eq_apply_preprocess_uncertainty_1` et :eq:`eq_apply_preprocess_uncertainty_2`, on obtient l'équation suivante : 

.. math::
    :label: eq_apply_preprocess_uncertainty_3
    
    \sigma_P^2 = \left( \frac{S}{G} * \sigma_R \right)^2 + \left(- \frac{S}{G} * \sigma_B \right)^2 + \left(\frac{R - B}{G} * \sigma_S \right)^2 + \left(- \frac{P}{G} * \sigma_G \right)^2

.. note::

   Dans la version Matlab, il n'y avait pas d'erreur sur le facteur de saturation, ni sur le facteur géométrique (qui était d'ailleur à 1 quelque soit l'altitude). L'équation était donc simplifiée de la façon suivante : ``G = 1``, ``\sigma_S = 0`` et ``\sigma_G = 0``, ce qui donne l'équation suivante : 
   
   .. math::
   
      \sigma_P^2 = \left( S * \sigma_R \right)^2 + \left(- S * \sigma_B \right)^2 

   Cependant, la propagation de l'erreur avec la saturation n'était pas prise en compte, et l'équation utilisée était : 
   
   .. math::
   
      \sigma_P^2 = \left(\sigma_R \right)^2 + \left(\sigma_B \right)^2 

   Le programme Matlab sous-estimait donc l'erreur lorsqu'il y avait de la saturation sur les détecteurs. 

Utilisation de la fonction
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